\(\int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx\) [3]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 748 \[ \int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx=-\frac {\sqrt {a^2+b^2+c \left (c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-a \left (2 c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )} \arctan \left (\frac {b^2+(a-c) \left (a-c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} \tan (d+e x)}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2+b^2-2 a c+c^2} \sqrt {a^2+b^2+c \left (c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-a \left (2 c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2+b^2-2 a c+c^2} e}-\frac {b \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{2 \sqrt {c} e}+\frac {b \left (b^2-4 a c\right ) \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{16 c^{5/2} e}+\frac {\sqrt {a^2+b^2+c \left (c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-a \left (2 c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )} \text {arctanh}\left (\frac {b^2+(a-c) \left (a-c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )+b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} \tan (d+e x)}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2+b^2-2 a c+c^2} \sqrt {a^2+b^2+c \left (c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-a \left (2 c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2+b^2-2 a c+c^2} e}-\frac {\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{e}-\frac {b (b+2 c \tan (d+e x)) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{8 c^2 e}+\frac {\left (a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)\right )^{3/2}}{3 c e} \]

[Out]

1/16*b*(-4*a*c+b^2)*arctanh(1/2*(b+2*c*tan(e*x+d))/c^(1/2)/(a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2))/c^(5/2)/e-1/
2*b*arctanh(1/2*(b+2*c*tan(e*x+d))/c^(1/2)/(a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2))/e/c^(1/2)+1/2*arctanh(1/2*(b
^2+(a-c)*(a-c+(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2))+b*(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2)*tan(e*x+d))/(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/4)*2^(
1/2)/(a^2+b^2+c*(c-(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2))-a*(2*c-(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2)))^(1/2)/(a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e
*x+d)^2)^(1/2))*(a^2+b^2+c*(c-(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2))-a*(2*c-(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2)))^(1/2)/(a^2-2*a*c+b
^2+c^2)^(1/4)/e*2^(1/2)-1/2*arctan(1/2*(b^2+(a-c)*(a-c-(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2))-b*(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2)*
tan(e*x+d))/(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/4)*2^(1/2)/(a^2+b^2+c*(c+(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2))-a*(2*c+(a^2-2*a*c+b^2+c
^2)^(1/2)))^(1/2)/(a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2))*(a^2+b^2+c*(c+(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/2))-a*(2*c+(a^2-
2*a*c+b^2+c^2)^(1/2)))^(1/2)/(a^2-2*a*c+b^2+c^2)^(1/4)/e*2^(1/2)-(a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2)/e-1/8*b
*(a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2)*(b+2*c*tan(e*x+d))/c^2/e+1/3*(a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(3/2)/c/e

Rubi [A] (verified)

Time = 24.33 (sec) , antiderivative size = 748, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 16, number of rules used = 12, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.364, Rules used = {3781, 6857, 654, 626, 635, 212, 1035, 1092, 1050, 1044, 214, 211} \[ \int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx=-\frac {\sqrt {-a \left (\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}+2 c\right )+c \left (\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}+c\right )+a^2+b^2} \arctan \left (\frac {-b \sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2} \tan (d+e x)+(a-c) \left (-\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}+a-c\right )+b^2}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2-2 a c+b^2+c^2} \sqrt {-a \left (\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}+2 c\right )+c \left (\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}+c\right )+a^2+b^2} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{\sqrt {2} e \sqrt [4]{a^2-2 a c+b^2+c^2}}+\frac {\sqrt {-a \left (2 c-\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}\right )+c \left (c-\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}\right )+a^2+b^2} \text {arctanh}\left (\frac {b \sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2} \tan (d+e x)+(a-c) \left (\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}+a-c\right )+b^2}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2-2 a c+b^2+c^2} \sqrt {-a \left (2 c-\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}\right )+c \left (c-\sqrt {a^2-2 a c+b^2+c^2}\right )+a^2+b^2} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{\sqrt {2} e \sqrt [4]{a^2-2 a c+b^2+c^2}}+\frac {b \left (b^2-4 a c\right ) \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{16 c^{5/2} e}-\frac {b \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{2 \sqrt {c} e}-\frac {b (b+2 c \tan (d+e x)) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{8 c^2 e}+\frac {\left (a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)\right )^{3/2}}{3 c e}-\frac {\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{e} \]

[In]

Int[Tan[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2],x]

[Out]

-((Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*ArcTan[(b
^2 + (a - c)*(a - c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e*x])/(Sqrt[2]*
(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c + Sqrt[a^2 + b
^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*e)
) - (b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(2*Sqrt[c]*e)
+ (b*(b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(1
6*c^(5/2)*e) + (Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2
])]*ArcTanh[(b^2 + (a - c)*(a - c + Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) + b*Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]*Tan[d + e
*x])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)^(1/4)*Sqrt[a^2 + b^2 + c*(c - Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2]) - a*(2*c
- Sqrt[a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2])]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2 - 2*a*c +
c^2)^(1/4)*e) - Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2]/e - (b*(b + 2*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d +
e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(8*c^2*e) + (a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2)^(3/2)/(3*c*e)

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 212

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]))*ArcTanh[Rt[-b, 2]*(x/Rt[a, 2])], x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 214

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-a/b, 2]/a)*ArcTanh[x/Rt[-a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b},
x] && NegQ[a/b]

Rule 626

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b + 2*c*x)*((a + b*x + c*x^2)^p/(2*c*(2*p + 1
))), x] - Dist[p*((b^2 - 4*a*c)/(2*c*(2*p + 1))), Int[(a + b*x + c*x^2)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x]
&& NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && IntegerQ[4*p]

Rule 635

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Dist[2, Subst[Int[1/(4*c - x^2), x], x, (b + 2*c*x)
/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 654

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[e*((a + b*x + c*x^2)^(p +
1)/(2*c*(p + 1))), x] + Dist[(2*c*d - b*e)/(2*c), Int[(a + b*x + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}
, x] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[p, -1]

Rule 1035

Int[((g_.) + (h_.)*(x_))*((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_)*((d_) + (f_.)*(x_)^2)^(q_), x_Symbol] :> Simp
[h*(a + b*x + c*x^2)^p*((d + f*x^2)^(q + 1)/(2*f*(p + q + 1))), x] - Dist[1/(2*f*(p + q + 1)), Int[(a + b*x +
c*x^2)^(p - 1)*(d + f*x^2)^q*Simp[h*p*(b*d) + a*(-2*g*f)*(p + q + 1) + (2*h*p*(c*d - a*f) + b*(-2*g*f)*(p + q
+ 1))*x + (h*p*((-b)*f) + c*(-2*g*f)*(p + q + 1))*x^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, g, h, q}, x] && NeQ
[b^2 - 4*a*c, 0] && GtQ[p, 0] && NeQ[p + q + 1, 0]

Rule 1044

Int[((g_) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2*
a*g*h, Subst[Int[1/Simp[2*a^2*g*h*c + a*e*x^2, x], x], x, Simp[a*h - g*c*x, x]/Sqrt[d + e*x + f*x^2]], x] /; F
reeQ[{a, c, d, e, f, g, h}, x] && EqQ[a*h^2*e + 2*g*h*(c*d - a*f) - g^2*c*e, 0]

Rule 1050

Int[((g_.) + (h_.)*(x_))/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> With[{q
= Rt[(c*d - a*f)^2 + a*c*e^2, 2]}, Dist[1/(2*q), Int[Simp[(-a)*h*e - g*(c*d - a*f - q) + (h*(c*d - a*f + q) -
g*c*e)*x, x]/((a + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x] - Dist[1/(2*q), Int[Simp[(-a)*h*e - g*(c*d - a*f + q
) + (h*(c*d - a*f - q) - g*c*e)*x, x]/((a + c*x^2)*Sqrt[d + e*x + f*x^2]), x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g,
h}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0] && NegQ[(-a)*c]

Rule 1092

Int[((A_.) + (B_.)*(x_) + (C_.)*(x_)^2)/(((a_) + (c_.)*(x_)^2)*Sqrt[(d_.) + (e_.)*(x_) + (f_.)*(x_)^2]), x_Sym
bol] :> Dist[C/c, Int[1/Sqrt[d + e*x + f*x^2], x], x] + Dist[1/c, Int[(A*c - a*C + B*c*x)/((a + c*x^2)*Sqrt[d
+ e*x + f*x^2]), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[e^2 - 4*d*f, 0]

Rule 3781

Int[tan[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(m_.)*((a_.) + (b_.)*((f_.)*tan[(d_.) + (e_.)*(x_)])^(n_.) + (c_.)*((f_.)*tan[(d_.
) + (e_.)*(x_)])^(n2_.))^(p_), x_Symbol] :> Dist[f/e, Subst[Int[(x/f)^m*((a + b*x^n + c*x^(2*n))^p/(f^2 + x^2)
), x], x, f*Tan[d + e*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && EqQ[n2, 2*n] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 6857

Int[(u_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> With[{v = RationalFunctionExpand[u/(a + b*x^n), x]}, Int[v, x]
/; SumQ[v]] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\text {Subst}\left (\int \frac {x^3 \sqrt {a+b x+c x^2}}{1+x^2} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{e} \\ & = \frac {\text {Subst}\left (\int \left (x \sqrt {a+b x+c x^2}-\frac {x \sqrt {a+b x+c x^2}}{1+x^2}\right ) \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{e} \\ & = \frac {\text {Subst}\left (\int x \sqrt {a+b x+c x^2} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{e}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {x \sqrt {a+b x+c x^2}}{1+x^2} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{e} \\ & = -\frac {\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{e}+\frac {\left (a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)\right )^{3/2}}{3 c e}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {\frac {b}{2}-(a-c) x-\frac {b x^2}{2}}{\left (1+x^2\right ) \sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{e}-\frac {b \text {Subst}\left (\int \sqrt {a+b x+c x^2} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{2 c e} \\ & = -\frac {\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{e}-\frac {b (b+2 c \tan (d+e x)) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{8 c^2 e}+\frac {\left (a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)\right )^{3/2}}{3 c e}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {b+(-a+c) x}{\left (1+x^2\right ) \sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{e}-\frac {b \text {Subst}\left (\int \frac {1}{\sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{2 e}+\frac {\left (b \left (b^2-4 a c\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{\sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{16 c^2 e} \\ & = -\frac {\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{e}-\frac {b (b+2 c \tan (d+e x)) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{8 c^2 e}+\frac {\left (a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)\right )^{3/2}}{3 c e}-\frac {b \text {Subst}\left (\int \frac {1}{4 c-x^2} \, dx,x,\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{e}+\frac {\left (b \left (b^2-4 a c\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{4 c-x^2} \, dx,x,\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{8 c^2 e}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {-b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}+\left (-b^2-(a-c) \left (a-c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )\right ) x}{\left (1+x^2\right ) \sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{2 \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} e}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}+\left (-b^2-(a-c) \left (a-c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )\right ) x}{\left (1+x^2\right ) \sqrt {a+b x+c x^2}} \, dx,x,\tan (d+e x)\right )}{2 \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} e} \\ & = -\frac {b \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{2 \sqrt {c} e}+\frac {b \left (b^2-4 a c\right ) \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{16 c^{5/2} e}-\frac {\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{e}-\frac {b (b+2 c \tan (d+e x)) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{8 c^2 e}+\frac {\left (a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)\right )^{3/2}}{3 c e}+\frac {\left (b \left (b^2+(a-c) \left (a-c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{2 b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} \left (b^2+(a-c) \left (a-c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )\right )+b x^2} \, dx,x,\frac {-b^2-(a-c) \left (a-c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )+b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} \tan (d+e x)}{\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{e}+\frac {\left (b \left (b^2+(a-c) \left (a-c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{-2 b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} \left (b^2+(a-c) \left (a-c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )\right )+b x^2} \, dx,x,\frac {-b^2-(a-c) \left (a-c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} \tan (d+e x)}{\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{e} \\ & = -\frac {\sqrt {a^2+b^2+c \left (c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-a \left (2 c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )} \arctan \left (\frac {b^2+(a-c) \left (a-c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} \tan (d+e x)}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2+b^2-2 a c+c^2} \sqrt {a^2+b^2+c \left (c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-a \left (2 c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2+b^2-2 a c+c^2} e}-\frac {b \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{2 \sqrt {c} e}+\frac {b \left (b^2-4 a c\right ) \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{16 c^{5/2} e}+\frac {\sqrt {a^2+b^2+c \left (c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-a \left (2 c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )} \text {arctanh}\left (\frac {b^2+(a-c) \left (a-c+\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )+b \sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2} \tan (d+e x)}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2+b^2-2 a c+c^2} \sqrt {a^2+b^2+c \left (c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )-a \left (2 c-\sqrt {a^2+b^2-2 a c+c^2}\right )} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{\sqrt {2} \sqrt [4]{a^2+b^2-2 a c+c^2} e}-\frac {\sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{e}-\frac {b (b+2 c \tan (d+e x)) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{8 c^2 e}+\frac {\left (a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)\right )^{3/2}}{3 c e} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (verified)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 2.57 (sec) , antiderivative size = 386, normalized size of antiderivative = 0.52 \[ \int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx=\frac {3 \sqrt {a-i b-c} \text {arctanh}\left (\frac {2 a-i b+(b-2 i c) \tan (d+e x)}{2 \sqrt {a-i b-c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )+3 \sqrt {a+i b-c} \text {arctanh}\left (\frac {2 a+i b+(b+2 i c) \tan (d+e x)}{2 \sqrt {a+i b-c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )-\frac {3 b \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{\sqrt {c}}+\frac {3 b \left (b^2-4 a c\right ) \text {arctanh}\left (\frac {b+2 c \tan (d+e x)}{2 \sqrt {c} \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}\right )}{8 c^{5/2}}-6 \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}-\frac {3 b (b+2 c \tan (d+e x)) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)}}{4 c^2}+\frac {2 \left (a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)\right )^{3/2}}{c}}{6 e} \]

[In]

Integrate[Tan[d + e*x]^3*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2],x]

[Out]

(3*Sqrt[a - I*b - c]*ArcTanh[(2*a - I*b + (b - (2*I)*c)*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a - I*b - c]*Sqrt[a + b*Tan[d +
e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])] + 3*Sqrt[a + I*b - c]*ArcTanh[(2*a + I*b + (b + (2*I)*c)*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[a +
I*b - c]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])] - (3*b*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c]*Sqrt[a
+ b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/Sqrt[c] + (3*b*(b^2 - 4*a*c)*ArcTanh[(b + 2*c*Tan[d + e*x])/(2*Sqrt[c
]*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])])/(8*c^(5/2)) - 6*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2] -
(3*b*(b + 2*c*Tan[d + e*x])*Sqrt[a + b*Tan[d + e*x] + c*Tan[d + e*x]^2])/(4*c^2) + (2*(a + b*Tan[d + e*x] + c
*Tan[d + e*x]^2)^(3/2))/c)/(6*e)

Maple [B] (warning: unable to verify)

result has leaf size over 500,000. Avoiding possible recursion issues.

Time = 2.79 (sec) , antiderivative size = 17766953, normalized size of antiderivative = 23752.61

\[\text {output too large to display}\]

[In]

int((a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2)*tan(e*x+d)^3,x)

[Out]

result too large to display

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 2396 vs. \(2 (671) = 1342\).

Time = 0.90 (sec) , antiderivative size = 4793, normalized size of antiderivative = 6.41 \[ \int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2)*tan(e*x+d)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/96*(24*c^3*e*sqrt(-(e^2*sqrt(-b^2/e^4) - a + c)/e^2)*log(-(2*(4*a^3*b^2 + 2*a*b^4 + 2*b^4*c - 4*a*b^2*c^2
- (4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*tan(e*x + d) + (2*(2*a^3*b + a*b
^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^2*tan(e*x + d) + (4*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4 + (4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 3*a*b^2)*
c)*e^2)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a) + ((4*a^3*b^2 + 3*a*b^4 - 8*a*b^2*c^2 - (4
*a^2*b^2 - 3*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^2 + 2*(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*
b^3)*c)*e*tan(e*x + d) - (4*a^3*b^2 + a*b^4 + (4*a^2*b^2 + b^4)*c)*e + ((b^4 + 2*(4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3
+ 5*a*b^2)*c)*e^3*tan(e*x + d)^2 - 4*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^3*tan(e*x + d) - (8*a^4 + 6*a^2*b
^2 + b^4 - 2*(4*a^3 + a*b^2)*c)*e^3)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt(-(e^2*sqrt(-b^2/e^4) - a + c)/e^2))/(tan(e*x + d)^2
+ 1)) - 24*c^3*e*sqrt(-(e^2*sqrt(-b^2/e^4) - a + c)/e^2)*log(-(2*(4*a^3*b^2 + 2*a*b^4 + 2*b^4*c - 4*a*b^2*c^2
- (4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*tan(e*x + d) + (2*(2*a^3*b + a*b
^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^2*tan(e*x + d) + (4*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4 + (4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 3*a*b^2)*
c)*e^2)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a) - ((4*a^3*b^2 + 3*a*b^4 - 8*a*b^2*c^2 - (4
*a^2*b^2 - 3*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^2 + 2*(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*
b^3)*c)*e*tan(e*x + d) - (4*a^3*b^2 + a*b^4 + (4*a^2*b^2 + b^4)*c)*e + ((b^4 + 2*(4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3
+ 5*a*b^2)*c)*e^3*tan(e*x + d)^2 - 4*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^3*tan(e*x + d) - (8*a^4 + 6*a^2*b
^2 + b^4 - 2*(4*a^3 + a*b^2)*c)*e^3)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt(-(e^2*sqrt(-b^2/e^4) - a + c)/e^2))/(tan(e*x + d)^2
+ 1)) + 24*c^3*e*sqrt((e^2*sqrt(-b^2/e^4) + a - c)/e^2)*log(-(2*(4*a^3*b^2 + 2*a*b^4 + 2*b^4*c - 4*a*b^2*c^2 -
(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*tan(e*x + d) - (2*(2*a^3*b + a*b^
3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^2*tan(e*x + d) + (4*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4 + (4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 3*a*b^2)*c
)*e^2)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a) + ((4*a^3*b^2 + 3*a*b^4 - 8*a*b^2*c^2 - (4*
a^2*b^2 - 3*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^2 + 2*(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b
^3)*c)*e*tan(e*x + d) - (4*a^3*b^2 + a*b^4 + (4*a^2*b^2 + b^4)*c)*e - ((b^4 + 2*(4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 +
5*a*b^2)*c)*e^3*tan(e*x + d)^2 - 4*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^3*tan(e*x + d) - (8*a^4 + 6*a^2*b^
2 + b^4 - 2*(4*a^3 + a*b^2)*c)*e^3)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt((e^2*sqrt(-b^2/e^4) + a - c)/e^2))/(tan(e*x + d)^2 +
1)) - 24*c^3*e*sqrt((e^2*sqrt(-b^2/e^4) + a - c)/e^2)*log(-(2*(4*a^3*b^2 + 2*a*b^4 + 2*b^4*c - 4*a*b^2*c^2 - (
4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*tan(e*x + d) - (2*(2*a^3*b + a*b^3
+ b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^2*tan(e*x + d) + (4*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4 + (4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 3*a*b^2)*c)*
e^2)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a) - ((4*a^3*b^2 + 3*a*b^4 - 8*a*b^2*c^2 - (4*a^
2*b^2 - 3*b^4)*c)*e*tan(e*x + d)^2 + 2*(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3
)*c)*e*tan(e*x + d) - (4*a^3*b^2 + a*b^4 + (4*a^2*b^2 + b^4)*c)*e - ((b^4 + 2*(4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 5
*a*b^2)*c)*e^3*tan(e*x + d)^2 - 4*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^3*tan(e*x + d) - (8*a^4 + 6*a^2*b^2
+ b^4 - 2*(4*a^3 + a*b^2)*c)*e^3)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt((e^2*sqrt(-b^2/e^4) + a - c)/e^2))/(tan(e*x + d)^2 + 1)
) + 3*(b^3 - 4*a*b*c - 8*b*c^2)*sqrt(c)*log(8*c^2*tan(e*x + d)^2 + 8*b*c*tan(e*x + d) + b^2 - 4*sqrt(c*tan(e*x
+ d)^2 + b*tan(e*x + d) + a)*(2*c*tan(e*x + d) + b)*sqrt(c) + 4*a*c) - 4*(8*c^3*tan(e*x + d)^2 + 2*b*c^2*tan(
e*x + d) - 3*b^2*c + 8*a*c^2 - 24*c^3)*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a))/(c^3*e), -1/48*(12*c^3*e*s
qrt(-(e^2*sqrt(-b^2/e^4) - a + c)/e^2)*log(-(2*(4*a^3*b^2 + 2*a*b^4 + 2*b^4*c - 4*a*b^2*c^2 - (4*a^4*b + 3*a^2
*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*tan(e*x + d) + (2*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b
*c^2)*e^2*tan(e*x + d) + (4*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4 + (4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 3*a*b^2)*c)*e^2)*sqrt(-b^2/
e^4))*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a) + ((4*a^3*b^2 + 3*a*b^4 - 8*a*b^2*c^2 - (4*a^2*b^2 - 3*b^4)*
c)*e*tan(e*x + d)^2 + 2*(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*e*tan(e*x
+ d) - (4*a^3*b^2 + a*b^4 + (4*a^2*b^2 + b^4)*c)*e + ((b^4 + 2*(4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 5*a*b^2)*c)*e^3*
tan(e*x + d)^2 - 4*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^3*tan(e*x + d) - (8*a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4 - 2*(4*a^
3 + a*b^2)*c)*e^3)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt(-(e^2*sqrt(-b^2/e^4) - a + c)/e^2))/(tan(e*x + d)^2 + 1)) - 12*c^3*e*s
qrt(-(e^2*sqrt(-b^2/e^4) - a + c)/e^2)*log(-(2*(4*a^3*b^2 + 2*a*b^4 + 2*b^4*c - 4*a*b^2*c^2 - (4*a^4*b + 3*a^2
*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*tan(e*x + d) + (2*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b
*c^2)*e^2*tan(e*x + d) + (4*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4 + (4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 3*a*b^2)*c)*e^2)*sqrt(-b^2/
e^4))*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a) - ((4*a^3*b^2 + 3*a*b^4 - 8*a*b^2*c^2 - (4*a^2*b^2 - 3*b^4)*
c)*e*tan(e*x + d)^2 + 2*(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*e*tan(e*x
+ d) - (4*a^3*b^2 + a*b^4 + (4*a^2*b^2 + b^4)*c)*e + ((b^4 + 2*(4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 5*a*b^2)*c)*e^3*
tan(e*x + d)^2 - 4*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^3*tan(e*x + d) - (8*a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4 - 2*(4*a^
3 + a*b^2)*c)*e^3)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt(-(e^2*sqrt(-b^2/e^4) - a + c)/e^2))/(tan(e*x + d)^2 + 1)) + 12*c^3*e*s
qrt((e^2*sqrt(-b^2/e^4) + a - c)/e^2)*log(-(2*(4*a^3*b^2 + 2*a*b^4 + 2*b^4*c - 4*a*b^2*c^2 - (4*a^4*b + 3*a^2*
b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*tan(e*x + d) - (2*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*
c^2)*e^2*tan(e*x + d) + (4*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4 + (4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 3*a*b^2)*c)*e^2)*sqrt(-b^2/e
^4))*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a) + ((4*a^3*b^2 + 3*a*b^4 - 8*a*b^2*c^2 - (4*a^2*b^2 - 3*b^4)*c
)*e*tan(e*x + d)^2 + 2*(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*e*tan(e*x +
d) - (4*a^3*b^2 + a*b^4 + (4*a^2*b^2 + b^4)*c)*e - ((b^4 + 2*(4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 5*a*b^2)*c)*e^3*t
an(e*x + d)^2 - 4*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^3*tan(e*x + d) - (8*a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4 - 2*(4*a^3
+ a*b^2)*c)*e^3)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt((e^2*sqrt(-b^2/e^4) + a - c)/e^2))/(tan(e*x + d)^2 + 1)) - 12*c^3*e*sqr
t((e^2*sqrt(-b^2/e^4) + a - c)/e^2)*log(-(2*(4*a^3*b^2 + 2*a*b^4 + 2*b^4*c - 4*a*b^2*c^2 - (4*a^4*b + 3*a^2*b^
3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*tan(e*x + d) - (2*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^
2)*e^2*tan(e*x + d) + (4*a^4 + 3*a^2*b^2 + b^4 + (4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 3*a*b^2)*c)*e^2)*sqrt(-b^2/e^4
))*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a) - ((4*a^3*b^2 + 3*a*b^4 - 8*a*b^2*c^2 - (4*a^2*b^2 - 3*b^4)*c)*
e*tan(e*x + d)^2 + 2*(4*a^4*b + 3*a^2*b^3 + b^5 + (4*a^2*b - b^3)*c^2 - 2*(4*a^3*b + 3*a*b^3)*c)*e*tan(e*x + d
) - (4*a^3*b^2 + a*b^4 + (4*a^2*b^2 + b^4)*c)*e - ((b^4 + 2*(4*a^2 - b^2)*c^2 - 2*(4*a^3 + 5*a*b^2)*c)*e^3*tan
(e*x + d)^2 - 4*(2*a^3*b + a*b^3 + b^3*c - 2*a*b*c^2)*e^3*tan(e*x + d) - (8*a^4 + 6*a^2*b^2 + b^4 - 2*(4*a^3 +
a*b^2)*c)*e^3)*sqrt(-b^2/e^4))*sqrt((e^2*sqrt(-b^2/e^4) + a - c)/e^2))/(tan(e*x + d)^2 + 1)) + 3*(b^3 - 4*a*b
*c - 8*b*c^2)*sqrt(-c)*arctan(1/2*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a)*(2*c*tan(e*x + d) + b)*sqrt(-c)/
(c^2*tan(e*x + d)^2 + b*c*tan(e*x + d) + a*c)) - 2*(8*c^3*tan(e*x + d)^2 + 2*b*c^2*tan(e*x + d) - 3*b^2*c + 8*
a*c^2 - 24*c^3)*sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a))/(c^3*e)]

Sympy [F]

\[ \int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx=\int \sqrt {a + b \tan {\left (d + e x \right )} + c \tan ^{2}{\left (d + e x \right )}} \tan ^{3}{\left (d + e x \right )}\, dx \]

[In]

integrate((a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)**2)**(1/2)*tan(e*x+d)**3,x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*tan(d + e*x) + c*tan(d + e*x)**2)*tan(d + e*x)**3, x)

Maxima [F]

\[ \int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx=\int { \sqrt {c \tan \left (e x + d\right )^{2} + b \tan \left (e x + d\right ) + a} \tan \left (e x + d\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate((a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2)*tan(e*x+d)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(c*tan(e*x + d)^2 + b*tan(e*x + d) + a)*tan(e*x + d)^3, x)

Giac [F(-1)]

Timed out. \[ \int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((a+b*tan(e*x+d)+c*tan(e*x+d)^2)^(1/2)*tan(e*x+d)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \tan ^3(d+e x) \sqrt {a+b \tan (d+e x)+c \tan ^2(d+e x)} \, dx=\int {\mathrm {tan}\left (d+e\,x\right )}^3\,\sqrt {c\,{\mathrm {tan}\left (d+e\,x\right )}^2+b\,\mathrm {tan}\left (d+e\,x\right )+a} \,d x \]

[In]

int(tan(d + e*x)^3*(a + b*tan(d + e*x) + c*tan(d + e*x)^2)^(1/2),x)

[Out]

int(tan(d + e*x)^3*(a + b*tan(d + e*x) + c*tan(d + e*x)^2)^(1/2), x)